有限元作業(yè)
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一、理論部分………………………………………………1
二、上機(jī)練習(xí)………………………………………………3
三、隨堂測(cè)驗(yàn)………………………………………………18
一、理論部分（30分，第1題10分，第2題20分）
1.什么是有限單元法，為什么要學(xué)習(xí)有限元，怎樣學(xué)好有限元？請(qǐng)結(jié)合本門課程的學(xué)習(xí)談?wù)勀愕捏w會(huì)。（10分）
答：有限單元法，是一種有效解決數(shù)學(xué)問題的解題方法。其基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。
有限元對(duì)于機(jī)械零件的力學(xué)分析，零件的壽命，溫度影響的分析，震動(dòng)影響的分析，有及其重要的作用。
對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。
(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。
(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn) 行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。
2.如圖1中（a）所示兩端固定的矩形梁，跨度為2a=2m，梁高為a=1m，厚度為t=0.1m，已知彈性模量為E，，在中間處受到集中力P，利用對(duì)稱性，可取梁的一半進(jìn)行分析，如圖（b）的所示。試用有限元法求解此平面應(yīng)力問題：（1）計(jì)算求出節(jié)點(diǎn)位移（2）求出單元應(yīng)力。（20分）...
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